Förklaring

För att förstå och lösa denna uppgift behöver vi utgå från vad vi vet om sannolikheten och den information som ges i problemet. Sannolikheten $P$ specificeras här som sannolikheten för att slumpmässigt dra ett visst kort från en kortlek. Vi ska då uttrycka hur många kort det finns i kortleken utifrån den givna sannolikheten $P$.

Steg för att lösa problemet:
1. Förstå grundlagen om sannolikheten för en händelse:
Sannolikheten att en händelse inträffar kan beskrivas som antalet gynnsamma utfall dividerat med det totala antalet möjliga utfall. I detta fall är händelsen att dra ett specifikt kort.

2. Antal gynnsamma utfall:
Om vi vill dra ett särskilt kort, exempelvis hjärter ess, är det bara ett hjärter ess i en kortlek. Så det finns ett gynnsamt utfall.

3. Det totala antalet möjliga utfall:
Detta är det totala antalet kort i kortleken, som vi ska beteckna med $N$.

4. Sätt upp ett uttryck för sannolikheten $P$:
Sannolikheten att dra det specifika kortet är då givet genom $P = \frac{\text{antalet gynnsamma utfall}}{\text{antalet möjliga utfall}} = \frac{1}{N}$.

5. Lösa uttrycket med avseende på $N$:
Vi vill veta hur många kort det finns i kortleken, alltså vill vi hitta $N$. Eftersom $P = \frac{1}{N}$, kan vi lösa ut detta för $N$:
$$ N = \frac{1}{P} $$

Detta gör att svar C: $\frac{1}{P}$ är rätt svar. Det visar att antalet kort i kortleken är det inversa av sannolikheten för att dra ett specifikt kort.

Summering:
Genom att använda grundläggande sannolikhetsregler härleddes att om sannolikheten att dra ett specifikt kort är $P$, och detta motsvarar ett gynnsamt utfall av totalt $N$ möjliga utfall, då måste $N = \frac{1}{P}$. Det innebär att antalet kort i kortleken är inversen av sannolikheten att dra det specifika kortet.

Detta bekräftar att det korrekta svaret på frågan är alternativ C, $\frac{1}{P}$.

Förklaring

För att förstå och lösa detta problem behöver vi först och främst nå en klar bild av vad de olika variablerna och termerna i frågan betyder och hur de relaterar till det konkreta problemet med kulorna.

1. Förstå Sannolikheter och Beteckningar:
Sannolikheten att dra en vit kula ur påsen är angiven som $\frac{x}{y}$. I detta sammanhang betyder $x$ antalet vita kulor i påsen, och $y$ det totala antalet kulor i påsen (alltså vita plus röda kulor).

2. Uttrycka Antalet Röda Kulor:
Eftersom $y$ är det totala antalet kulor och $x$ är antalet vita kulor, representerar $y - x$ de resterande kulorna i påsen, som inte är vita, dvs. de röda kulorna. Det är en direkt subtraktion av antalet vita kulor från det totala antalet kulor för att få antalet röda kulor.

3. Analysera Svarsalternativen:
- $A: 1 - x$: Detta skulle betyda antalet vita kulor minus 1, vilket inte ger mening i sammanhanget.
- $B: 1 - y$: Detta skulle vara totalantalet kulor minus 1, vilket återigen inte ger mening i sammanhanget.
- $C: x - y$: Detta skulle antyda att antalet vita kulor är större än det totala antalet kulor, vilket är omöjligt.
- $D: y - x$: Som vi redan diskuterat, detta är det antalet kulor som inte är vita, alltså antalet röda kulor.

4. Slutsats:
Det korrekta svarsalternativet är $D: y - x$, vilket är det antal kulor som inte är vita i påsen. Sannolikheten $\frac{x}{y}$ visar en korrekt relation där $x$ är mindre engrundligt och specifikt beskriver antalet vita kulor och $y - x$ ger på ett korrekt sätt antalet icke-vita (röda) kulor. Genom att subtrahera antalet vita kulor ($x$) från det totala antalet kulor ($y$), får vi det sökta antalet röda kulor.

Denna förståelse och metod kan användas för att korrekt identifiera hur många kulor som inte är vita i någon liknande fråga om sannolikheter och antal objekt.

Förklaring

För att lösa detta problem behöver vi först förstå relationen mellan sannolikheten att välja en pojke jämfört med en flicka och sedan relatera detta förhållande till antalet pojkar och det totala antalet elever i klassen.

Steg 1: Definiera variabler
Låt $P$ vara antalet pojkar och $F$ vara antalet flickor i klassen. Det totala antalet elever, $T$, är då summan av pojkar och flickor, alltså $T = P + F$.

Steg 2: Förstå förhållandet mellan sannolikheterna
Frågan säger att sannolikheten att välja en pojke är 2/3 av sannolikheten att välja en flicka. Vi kan uttrycka detta matematiskt som:
\[ \frac{P/T}{F/T} = \frac{2}{3} \]
där $P/T$ är sannolikheten att välja en pojke och $F/T$ är sannolikheten att välja en flicka.

Steg 3: Förenkla uttrycket
Eftersom vi är intresserade av kvoten mellan antalet pojkar och det totala antalet elever, kan vi förenkla uttrycket ovan:
\[ \frac{P}{F} = \frac{2}{3} \]

Steg 4: Uttryck $F$ med hjälp av $P$
Från ekvationen ovan kan vi lösa ut $F$ som:
\[ F = \frac{3}{2} P \]

Steg 5: Sätt in detta i formeln för det totala antalet elever
Nu när vi vet att $F = \frac{3}{2}P$, ersätter vi $F$ i uttrycket för totala antalet elever ($T$):
\[ T = P + F = P + \frac{3}{2} P = \frac{5}{2} P \]

Steg 6: Beräkna kvoten mellan antalet pojkar och totala antalet elever
Kvoten vi söker är $P/T$, vilket nu blir:
\[ \frac{P}{T} = \frac{P}{\frac{5}{2}P} = \frac{2}{5} \]

Detta visar att kvoten mellan antalet pojkar och det totala antalet elever i klassen är $\frac{2}{5}$. Så, det korrekta svaret på frågan är B: $\frac{2}{5}$. Här har vi använt förhållandet mellan pojkar och flickor för att lösa efter det totala antalet, och sedan uttryckt kvoten av pojkar relaterat till detta totala antal.

Förklaring

För att lösa den här uppgiften behöver vi förstå begreppet sannolikhet och hur det tillämpas när antalet objekt i en grupp förändras. Vi ska här räkna ut sannolikheten att dra en röd boll efter att fler bollar lagts till i lådan.

1. Vi börjar med att identifiera och förstå våra utgångsvariabler:
- Antalet ursprungliga röda bollar i lådan: $r$
- Antalet ursprungliga blå bollar i lådan: $b$

2. Lägg till 5 röda bollar och 7 blå bollar i lådan. Det förändrar antalet bollar enligt:
- Det nya antalet röda bollar: $r + 5$
- Det nya antalet blå bollar: $b + 7$

3. För att beräkna den nya totalen bollar:
- Det totala antalet bollar blir det tidigare totala antalet plus de tillagda bollarna. Ursprungligen har vi $r + b$ bollar, och vi lägger till $5 + 7 = 12$ bollar.
- Det nya totala antalet bollar är alltså $r + b + 12$.

4. Sannolikheten att välja en röd boll från lådan:
- Sannolikheten för en händelse är definierad som antalet gynnsamma utfall delat med totala möjliga utfall.
- Antalet gynnsamma utfall här är antalet röda bollar, som nu är $r + 5$.
- Det totala antalet möjliga utfall är det nya totala antalet bollar, som är $r + b + 12$.

5. Sätt in dessa värden i sannolikhetsformeln:
- Sannolikheten $P$ för att dra en röd boll är därför $\frac{\text{antal röda bollar}}{\text{totalt antal bollar}} = \frac{r+5}{r+b+12}$.

Detta visar varför svaret är:
D: $\large{\frac{r+5}{r+b+12}}$

Här har vi gått igenom varje steg, från att identifiera förändringen i antalet bollar till att använda en grundläggande sannolikhetsformel. Korrekt tillämpning av dessa principer ledde oss till det korrekta svaret, där vi verkligen tar hänsyn till både ökningen av röda och blå bollar.

Förklaring

För att lösa denna uppgift ska vi beräkna sannolikheten att Cesar sitter mitt emot David när de, tillsammans med Adam och Bertil, sätter sig slumpmässigt runt ett kvadratiskt bord. På detta bord finns fyra sidor och varje person besätter en sida.

Vi börjar med att låta en av personerna, till exempel Cesar, välja en plats. Då Cesar redan har valt en plats, finns det tre platser kvar för David att välja bland. För att uppfylla villkoret att Cesar ska sitta mitt emot David, måste David välja den plats som är precis mot Cesar.

Låt oss resonera så här:
1. Cesar sätter sig på en valfri plats. Detta kan vi tänka oss som att han "låser" den specificerade positionen utan att påverka sannolikhetsberäkningen för resterande personer.
2. När Cesar har satt sig, finns det tre platser kvar när det är Davids tur att välja. Av dessa tre platser är en plats mitt emot Cesar och två platser är inte mitt emot Cesar.
3. Därmed finns det en gynnsam utfall (David sitter mitt emot Cesar) och totalt tre möjliga utfall (de tre platserna som David kan välja mellan).

Sannolikheten att det gynnsamma utfallet inträffar beräknas genom att dela antalet gynnsamma utfall med det totala antalet utfall. Detta uttrycks matematiskt som:

\[ \text{Sannolikhet} = \frac{\text{Antal gynnsamma utfall}}{\text{Totalt antal utfall}} = \frac{1}{3} \]

Därmed är sannolikheten att Cesar sitter mitt emot David just $\frac{1}{3}$. Detta överensstämmer med svarsalternativ B: $\frac{1}{3}$, vilket är det korrekta svaret.

Att förstå sannolikhetsberäkningar i detta sammanhang kräver olika steg av logiskt resonemang, men centrala punkten här är att inrikta sig på de valmöjligheter som finns när det gäller relationen mellan Cesar och David efter att Cesar har valt sin plats.

Detta är en bra exempel på en fråga där man måste tänka på positioner och relationer, snarare än bara att räkna personer.

Förklaring

För att lösa denna uppgift och beräkna sannolikheten att den första och sista knappen är grön, måste vi först förstå alla möjliga sätt att arrangera dessa tre knappar: en blå och två gröna.

Vi kan använda varje knapps initialer för att representera dem när vi listar upp arrangemangen. Låt "B" representera den blå knappen och "G" representera de gröna knapparna. Arrangemangen med dessa knappar kan vara följande:

1. G G B
2. G B G
3. B G G
4. G G B
5. B G G
6. G B G

Notera här att vissa arrangemang kan tyckas upprepas, men eftersom det inte finns några särskiljande märken mellan de gröna knapparna behandlar vi varje "G" som identiska. Så, vi har totalt sex unika sätt att arrangera knapparna.

Nästa steg är att identifiera vilka av dessa arrangemang som uppfyller kravet att den första och sista knappen är grön. Dessa arrangemang är:

1. G G B
2. G B G
3. B G G

Vi ser snabbt att endast i två av dessa sex arrangemang är både den första och den sista knappen grön:

1. G G B
2. B G G

Nu kan vi beräkna sannolikheten. Sannolikheten för en händelse är antalet gynnsamma utfall dividerat med det totala antalet möjliga utfall. I det här fallet är antalet gynnsamma utfall 2 (arrangemangen G G B och B G G), och det totala antalet möjliga utfall är 6.

Sannolikheten att både den första och den sista knappen är grön är därför:

$$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Detta är precis vad svarsalternativ B: $\frac{2}{6}$ anger, vilket betyder att detta är det korrekta svarsalternativet för frågan.
____
Det kan vara värt att notera att $\frac{2}{6}$ kan förenklas till $\frac{1}{3}$, men i det här fallet har frågan som mål att testa elevernas förståelse av sannolikhetsberäkningar snarare än deras förmåga att förenkla bråk. Därför bör du alltid vara uppmärksam på att matcha ditt svar exakt med de alternativ som erbjuds i provet.

Förklaring

För att lösa den här uppgiften behöver vi först förstå hur sannolikheten för olika utfall vid tärningskast fungerar. Med en sexsidig tärning har varje sida, inklusive sexan, sannolikheten $\frac{1}{6}$ att visa sig vid ett kast. Därför är sannolikheten att inte få en sexa vid ett enskilt kast $\frac{5}{6}$, eftersom det finns fem andra siffror (1 till 5) som kan komma upp.

För att lösa denna fråga måste vi beräkna sannolikheten för att inte slå någon sexa vid två på varandra följande kast. Eftersom varje kast är oberoende av det andra, kan vi enkelt multiplicera sannolikheten för inte att slå en sexa i det första kastet med sannolikheten för inte att slå en sexa i det andra kastet för att få den totala sannolikheten för att ingen sexa slås i båda kasten.

Matematiskt uttrycker vi detta som:
\[ P(\text{ingen sexa i båda kasten}) = P(\text{ingen sexa i första kastet}) \times P(\text{ingen sexa i andra kastet}) \]
\[ = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \]
\[ = \frac{25}{36} \]

Därför är sannolikheten att man i två på varandra följande kast med en sexsidig tärning inte slår någon sexa $\frac{25}{36}$. Det rätta svarsalternativet är således B: $\frac{25}{36}$.