Förklaring

Vi har ekvationen $x^2 = 121$, vilket innebär att $x = \pm 11$ eftersom $\sqrt{121} = 11$.

Uttrycket vi ska förenkla är $(x + 1)(x - 1)$. Detta är ett klassiskt exempel på konjugatregeln, som säger att:

\[
(x + a)(x - a) = x^2 - a^2
\]

I det här fallet är $a = 1$, så:

\[
(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1
\]

Eftersom vi vet att $x^2 = 121$, kan vi ersätta $x^2$ med 121 i uttrycket:

\[
121 - 1 = 120
\]

Alltså är svaret 120.

Rätt svar är: C. 120

Förklaring

För att lösa uttrycket $\left(\frac{x}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{x}{4}-\frac{1}{2}\right)$ kan vi använda konjugatregeln. Den säger att för alla tal $a$ och $b$ gäller:
\[ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2. \]

I vårt fall är $a = \frac{x}{4}$ och $b = \frac{1}{2}$. Nu sätter vi in dessa värden i formeln för att få:
\[ \left(\frac{x}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{x}{4}-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2. \]

Nästa steg är att beräkna dessa kvadrater. Vi vet att:
\[ \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16} \]
och
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}. \]

Sätter vi nu in dessa i vår förenklade differens av kvadrater får vi:
\[ \frac{x^2}{16} - \frac{1}{4}. \]

För att kunna subtrahera dessa två bråk måste vi ha samma nämnare. Nämnaren för det första bråket är 16, och för det andra bråket är det 4. Vi omvandlar $\frac{1}{4}$ till en form med nämnaren 16:
\[ \frac{1}{4} = \frac{4}{16}. \]

Nu kan vi subtrahera de två bråken:
\[ \frac{x^2}{16} - \frac{4}{16} = \frac{x^2 - 4}{16}. \]

Nu är uttrycket $\frac{x^2 - 4}{16}$ fortfarande lite invecklat, och vi vill jämföra det med de olika svarsalternativen. Ett sätt att göra det mer läsbart är att faktorisera det. Vi ser att både täljaren och nämnaren kan delas med 4:
\[ \frac{x^2 - 4}{16} = \frac{1}{4}\left(\frac{x^2 - 4}{4}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{x^2}{4} - 1\right). \]

Detta uttryck överensstämmer nu med svarsalternativ D:
\[ D: \frac{1}{4}\left(\frac{x^2}{4}-1\right). \]

Därmed är det korrekta svaret alternativ D.

Förklaring

Eftersom vi inte har ett uttryck som motsvarar formen där konjugatregeln appliceras, är den enklaste lösningen att utföra parentesmultiplikationen. Dvs att alla termer i den högra parentesen multipliceras med alla termer i den vänstra parentesen.

Uttrycket $(2a - 3b)(3a + 2b)$ kan utvecklas som följer:

1. Multiplicera första termen i första parentesen med varje term i andra parentesen:
$2a \cdot 3a = 6a^2$
$2a \cdot 2b = 4ab$

2. Multiplicera andra termen i första parentesen med varje term i andra parentesen:
$-3b \cdot 3a = -9ab$
$-3b \cdot 2b = -6b^2$

Nu kombinerar vi alla dessa resultat:
$6a^2 + 4ab - 9ab - 6b^2$

Förenkla uttrycket genom att kombinera liknande termer (i det här fallet är det de två $ab$-termerna):
$6a^2 + (4ab - 9ab) - 6b^2$
$6a^2 - 5ab - 6b^2$

Det korrekta svaret som vi får är alltså $6a^2 - 5ab - 6b^2$. Detta motsvarar svarsalternativ C, och är det rätta svaret. Svaret demonstrerar hur varje term i ett parentesuttryck påverkar slutresultatet när det är fråga om polynomialmultiplikation.

Förklaring

Vi ska förenkla uttrycket:
\[
(2^4 + 1)(2^2 + 1)(2^2 - 1)
\]

Först använder vi konjugatregeln på $(2^2 + 1)(2^2 - 1)$, vilket är av formen:
\[
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
\]

I detta fall är $a = 2^2$ och $b = 1$, så vi får:
\[
(2^2 + 1)(2^2 - 1) = 2^4 - 1
\]

Nu har vi uttrycket:
\[
(2^4 + 1)(2^4 - 1)
\]

Använd konjugatregeln igen:
\[
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
\]

Här är $a = 2^4$ och $b = 1$, så vi får:
\[
2^8 - 1
\]

Rätt svar är: A. $2^8 - 1$

Förklaring

Vi ska förenkla uttrycket:
\[
(x + 7)^2 - (x - 7)^2
\]

Vi använder kvadreringsreglerna för båda kvadraterna.

Först utvecklar vi $(x + 7)^2$:
\[
(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49
\]

Sedan utvecklar vi $(x - 7)^2$:
\[
(x - 7)^2 = x^2 - 14x + 49
\]

Nu subtraherar vi det andra uttrycket från det första:
\[
(x^2 + 14x + 49) - (x^2 - 14x + 49)
\]

Förenkla:
\[
x^2 + 14x + 49 - x^2 + 14x - 49 = 14x + 14x = 28x
\]

Alltså är svaret 28x.

Rätt svar är: A. $28x$

Förklaring

Vi ska förenkla uttrycket:
\[
(x + y)^2 - (x - y)^2
\]

Vi använder kvadreringsreglerna för båda kvadraterna.

Först utvecklar vi $(x + y)^2$:
\[
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

Sedan utvecklar vi $(x - y)^2$:
\[
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
\]

Nu subtraherar vi det andra uttrycket från det första:
\[
(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)
\]

Förenkla:
\[
x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 2xy + 2xy = 4xy
\]

Vi vet från uppgiften att $xy = 1$, så vi sätter in det:
\[
4xy = 4(1) = 4
\]

Alltså är svaret 4.

Rätt svar är: D. 4

Förklaring

För att lösa denna uppgift och finna differensen mellan de två uttrycken $(x+2)^2$ och $x^2$, börjar vi med att utveckla det första uttrycket.

Uttrycket $(x+2)^2$ är en kvadrering av ett binom (tvåtermigt uttryck), vilket kan expanderas genom användningen av kvadreringsregeln:
$$(x+2)^2 = (x+2)(x+2) = x^2 + 2x + 2x + 4 = x^2 + 4x + 4$$

Nu när vi har expanderat $(x+2)^2$, kan vi skriva uttrycket som:
$$x^2 + 4x + 4.$$

Följande steg är att beräkna differensen mellan detta expanderade binom och $x^2$. Vi utför detta genom att subtrahera det ursprungliga uttrycket $x^2$ från det expanderade, vilket ser ut så här:
$$(x^2 + 4x + 4) - x^2.$$

När vi utför subtraktionen, kan vi notera att $x^2 - x^2$ tar ut varandra och vi får:
$$0 + 4x + 4.$$

Detta förenklar till:
$$4x + 4.$$

Det betyder att differensen mellan $(x+2)^2$ och $x^2$ är $4x + 4$. Detta matchar svarsalternativ D, vilket är $4x+4$, och det är därmed det korrekta svaret på frågeställningen.

Att förstå expansions- och subtraktions stegen är centralt i att lösa denna typ av algebraiska problem och leder till en framgångsrik problemlösning.