Yttervinkelsatsen

Yttervinkelsatsen är en viktig sats inom geometrin som beskriver förhållandet mellan en yttervinkel och två inre motstående vinklar i en triangel. Satsen säger att yttervinkeln är lika med summan av de två inre icke-anslutande vinklarna. På nästan alla högskoleprov finns det ett flertal geometriska uppgifter som går att lösa med hjälp av yttervinkelsatsen.

Snabbguide

  • Yttervinkelsatsen: \( y = u + v \)
  • Gäller för alla trianglar: Yttervinkelsatsen kan användas för alla typer av trianglar.
  • Beräkning av yttervinkeln: Summan av de två inre motstående vinklarna.
  • Beräkning av en inre vinkel: Yttervinkeln minus den kända inre vinkeln.

Definition av yttervinkelsatsen

Om vi har en triangel med vinklarna \( u \), \( v \) och \( y \), och vi förlänger en av sidorna, bildar vi en yttervinkel \( y \). Yttervinkelsatsen säger att:

\[ y = u + v \]

Där:

  • \( u \) och \( v \) är de två inre vinklarna som inte ligger intill yttervinkeln.
  • \( y \) är yttervinkeln.

Exempel: Beräkna en yttervinkel

Vi har en triangel med inre vinklarna \( u = 40^\circ \) och \( v = 60^\circ \). Vad är yttervinkeln \( y \) som ligger utanför den tredje vinkeln?

Lösning:

\[ y = u + v = 40^\circ + 60^\circ = 100^\circ \]

Yttervinkeln \( y \) är 100°.

Exempel: Beräkna en inre vinkel

Vi har en triangel med en yttervinkel \( y = 120^\circ \) och en av de inre vinklarna \( u = 50^\circ \). Vad är den andra inre vinkeln \( v \)?

Lösning:

\[ v = y - u = 120^\circ - 50^\circ = 70^\circ \]

Den andra inre vinkeln \( v \) är 70°.

Tillämpningar av yttervinkelsatsen

Yttervinkelsatsen används ofta för att lösa problem som involverar trianglar och deras vinklar. Några exempel på tillämpningar är:

  • Beräkna okända vinklar i trianglar när en yttervinkel är given.
  • Bestämma om en given vinkel är en yttervinkel eller en inre vinkel.
  • Verifikation av egenskaper hos olika typer av trianglar, såsom likbenta eller liksidiga trianglar.

Vanliga frågor

Ja, yttervinkelsatsen gäller för alla trianglar, oavsett om de är spetsvinkliga, trubbvinkliga eller rätvinkliga. Satsen beskriver en generell egenskap hos alla trianglar.

Yttervinkeln är den vinkel som bildas när vi förlänger en av triangelns sidor. Den ligger utanför triangeln och är inte en av triangelns tre inre vinklar.

Nej, en yttervinkel kan inte vara större än 180°. Yttervinkeln är alltid summan av två inre vinklar, och eftersom summan av alla tre inre vinklar i en triangel är 180°, kan inte yttervinkeln överstiga detta värde.


Sammanfattning

Yttervinkelsatsen är ett användbart verktyg för att förstå och beräkna vinklar i trianglar. Genom att använda summan av de två inre icke-anslutande vinklarna kan vi enkelt hitta yttervinkeln eller en okänd inre vinkel.