Förklaring

Förklaring

Här behöver vi ha koll på vad vertikalvinklar är. Motstående vinklar som uppstår när två linjer som $L_1$ och $L_2$ skär varandra, är lika stora. Det innebär att:

$a = c$ och $b = d$

Vi vet även att alla vinklar tillsammans ska bli 360 grader och att alla vinklar på en rak linje tillsammans blir 180 grader.

Om vi tittar på alternativen och börjar med alternativ A, som säger att: $2a+b-c=180^\circ$, ser vi att det finns både a och c i vänster led. Då vi förut kostaterade att a = c, kan vi byta ut c mot a och säga att:

$2a+b-a=180^\circ$

Vilket vi kan förenkla till:

$a+b=180^\circ$

Då a och b är sidovinklar och delar upp linje $L_2$ i två vinklar, vet vi att de tillsammans ska bli 180 grader vilket är exakt vad påståendet säger.

Förklaring

Först behöver vi ha koll på alternatvinklar:
Alternatvinklar är två vinklar som uppstår när två parallella linjer korsas av en tredje linje, kallad en transversal. Alternatvinklarna ligger på motsatta sidor av transversalen och är inte angränsande. De kallas alternativa eftersom de växlar eller alternerar sidor relativt till transversalen.
Det speciella med alternatvinklar är att de är lika stora när de två linjerna som korsas av transversalen är parallella. Denna egenskap används ofta för att visa att två linjer är parallella eller för att beräkna okända vinklar i geometriska figurer.

I detta fall är linje L transversalen som korsar $L_1$ och $L_2$. Enligt definitionen ovan skulle vi behöva ett villkor som direkt eller indirekt säger att $x = 105^\circ$.

Då en rak linje som linje L alltid är 180 grader, måste vinklarna x och y tillsammans blir 180 grader. Då vinkel x och vinkeln som är 105 grader är alternativa (alternatvinklar), skulle påståendet i alternativ D indirekt säga att $x + y = 180$ eftersom x = 105.

Svar är därför D

Förklaring

Eftersom linjerna $L_1$ och $L_2$ är parallella och det finns en transversal, gäller att motsvarande vinklar är lika stora. Sidovinkeln till 6x är alltså 4y och tillsammans blir de 180 grader:

$6x + 4y = 180$

Dividera med två:

$3x + 2y = 90$

Svar: B

Förklaring

Här behöver vi ha koll på vertikalvinklar:
Vertikalvinklar är de vinklar som bildas när två räta linjer korsar varandra. De vinklar som är mitt emot varandra vid korsningen kallas vertikalvinklar eller motstående vinklar. En viktig egenskap hos vertikalvinklar är att de alltid är lika stora.

Om vi tittar på våran figur och applicerar att motstående vinklar alltid är lika stora kan vi ställa upp ett uttryck för vinkelsumman av den övre (eller undre) halvan av figuren. Då alla vinklar på en rak linje tillsammans blir 180 grader vet och vi nu kunnat bestämma alla vinklar kan vi säga att:

\[3x + 2x + x + 2x = 180^\circ\]

Vi förenklar:

\[8x = 180^\circ\]

Dividera med 8 på båda sidor:
x = 22,5

Svar: C

Förklaring

För denna uppgift behöver vi ha koll på alternatvinklar:

Alternatvinklar är två vinklar som uppstår när två parallella linjer korsas av en tredje linje, kallad en transversal. Alternatvinklarna ligger på motsatta sidor av transversalen och är inte angränsande. De kallas alternativa eftersom de växlar eller alternerar sidor relativt till transversalen.
Det speciella med alternatvinklar är att de är lika stora när de två linjerna som korsas av transversalen är parallella. Denna egenskap används ofta för att visa att två linjer är parallella eller för att beräkna okända vinklar i geometriska figurer.

I figuren ser vi att $(5x - 105)^\circ$ och $(3x - 45)^\circ$ är alternatvinklar. De är alltså lika stora. VI ställer upp det:

$(5x - 105)^\circ = (3x - 45)^\circ$

$5x - 105 = 3x - 45$

Addera med 105 på båda sidor

$5x = 3x + 60$

Subtrahera 3x:

$2x = 60$

Dividera med 2 på båda sidor:

$x = 30$

Svar C

Förklaring

Regelbunden innebär att alla vinklar i femhörningen är lika stora. Då vet vi att ett hörn är:
\[\frac{540^\circ}{5} = 108^\circ\]

Sträckan D till vinkel x är en rak sträcka som delas av sträckan EA. Då vi nu vet att vinkeln AED är 108 grader måste vinkeln i triangeln vara $180 -108 = 72$

Samma gäller för den andra okända vinkeln i triangeln. Då vet vi att de två vinklarna vid femhörningen är respektive 72 grader och sammanlagt $2 \cdot 72^\circ = 144^\circ$.

För att vinkelsumman i en triangel är 180 grader måste x vara $180 - 144 = 36^\circ$ därför är alternativ A rätt.

Förklaring

Vinkelsumman i en triangel är totalt 180 grader.

När vi tittar på bilden ser vi att en vinkel i triangeln är 70 grader och den andra är betecknad med v.

En sida i triangeln är förlängd och yttervinkeln där är 119 grader. En rak sträcka är 180 grader. Om vi vet att utsidan av den tredje vinkeln i triangeln är 119 grader kan vi säga att delen av den raka linjen inuti triangeln är $180-119 = 61$.

Då har vi två vinklar i triangeln, 70 och 61 grader.

\[ 180^\circ - (70^\cric + 61^\circ) = v \]

\[ 180^\circ - 131^\circ = v \]

\[ 49^\circ = v \]