Pythagoras sats

Pythagoras sats är en grundläggande princip inom geometrin som beskriver förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Satsen säger att kvadraten på hypotenusan (triangelns längsta sida) är lika med summan av kvadraterna på de två andra sidorna (kateterna).

Snabbguide

  • Pythagoras sats: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
  • Beräkna hypotenusan: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)
  • Beräkna en katet: \( b = \sqrt{c^2 - a^2} \)
  • Gäller endast för rätvinkliga trianglar: Pythagoras sats kan bara användas om vi vet att vi har en rätvinklig triangel.

Definition av Pythagoras sats

Om vi har en rätvinklig triangel med sidorna \( a \) och \( b \) som kateter och sidan \( c \) som hypotenusa, kan vi uttrycka Pythagoras sats som

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Där:

  • \( a \): Längden på den ena kateten.
  • \( b \): Längden på den andra kateten.
  • \( c \): Längden på hypotenusan.

Exempel: Beräkna hypotenusan

Vi har en rätvinklig triangel med kateterna \( a = 3 \) och \( b = 4 \). Vad är längden på hypotenusan \( c \)?

Lösning:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Hypotenusan är 5 enheter lång.

Exempel: Beräkna en katet

Vi har en rätvinklig triangel med hypotenusan \( c = 13 \) och en katet \( a = 5 \). Vad är längden på den andra kateten \( b \)?

Lösning:

\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \]

Den andra kateten är 12 enheter lång.

Grafisk representation av Pythagoras sats

En grafisk representation av Pythagoras sats visar hur kvadraterna på kateterna och hypotenusan förhåller sig till varandra. Genom att konstruera kvadrater på varje sida av den rätvinkliga triangeln kan vi tydligt se att summan av areorna av kateternas kvadrater är lika med arean av hypotenusans kvadrat.

Grafisk representation av Pythagoras sats


På bilden ovan ser vi att \( a^2 + b^2 = c^2 \), vilket bekräftar Pythagoras sats.

Vanliga frågor

Nej, Pythagoras sats gäller endast för rätvinkliga trianglar. Om triangeln inte är rätvinklig kan vi inte använda formeln \( a^2 + b^2 = c^2 \).

I en triangel kan sidorna inte ha negativa längder. Om du får negativa värden för \( a \) eller \( b \), har du förmodligen gjort ett räknefel eller använt felaktiga värden.

För att verifiera att en triangel är rätvinklig kan du kontrollera om \( a^2 + b^2 = c^2 \). Om formeln stämmer, är triangeln rätvinklig.


Sammanfattning

Pythagoras sats är ett kraftfullt verktyg för att lösa problem som involverar rätvinkliga trianglar på högskoleprovet snabbt.