Beräkning av areor

Att kunna beräkna arean för olika geometriska former är grundläggande inom geometrin på högskoleprovet. I denna genomgång kommer vi att gå igenom hur man bestämmer arean för en cirkel, kvadrat, rektangel och triangel, samt hur man löser ekvationer kopplade till dessa areor.

Snabbguide

  • Cirkel: \( A = \pi r^2 \)
  • Kvadrat: \( A = s^2 \)
  • Rektangel: \( A = b \cdot h \)
  • Triangel: \( A = \frac{b \cdot h}{2} \)
  • Lösa ekvationer: Använd formeln för respektive geometrisk form och lös för den okända variabeln.

Cirkel

Arean för en cirkel beräknas med formeln:

\[ A = \pi r^2 \]

Där:

  • \( A \) är arean.
  • \( r \) är cirkelns radie.

Exempel: Beräkna arean av en cirkel

En cirkel har radien \( r = 5 \) cm. Vad är cirkelns area?

Lösning:

\[ A = \pi \cdot 5^2 = 25 \pi \approx 78.54 \text{ cm}^2 \]

Cirkelns area är cirka 78.54 cm².

Kvadrat

Arean för en kvadrat beräknas med formeln:

\[ A = s^2 \]

Där:

  • \( A \) är arean.
  • \( s \) är kvadratens sida.

Exempel: Beräkna arean av en kvadrat

En kvadrat har sidan \( s = 4 \) cm. Vad är kvadratens area?

Lösning:

\[ A = 4^2 = 16 \text{ cm}^2 \]

Kvadratens area är 16 cm².

Rektangel

Arean för en rektangel beräknas med formeln:

\[ A = b \cdot h \]

Där:

  • \( A \) är arean.
  • \( b \) är rektangelns bas.
  • \( h \) är rektangelns höjd.

Exempel: Beräkna arean av en rektangel

En rektangel har basen \( b = 6 \) cm och höjden \( h = 3 \) cm. Vad är rektangelns area?

Lösning:

\[ A = 6 \cdot 3 = 18 \text{ cm}^2 \]

Rektangelns area är 18 cm².

Triangel

Arean för en triangel beräknas med formeln:

\[ A = \frac{b \cdot h}{2} \]

Där:

  • \( A \) är arean.
  • \( b \) är triangelns bas.
  • \( h \) är triangelns höjd.

Exempel: Beräkna arean av en triangel

En triangel har basen \( b = 8 \) cm och höjden \( h = 5 \) cm. Vad är triangelns area?

Lösning:

\[ A = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 \text{ cm}^2 \]

Triangelns area är 20 cm².

Att lösa ekvationer med hjälp av areor

Ibland behöver vi lösa ekvationer där arean av en form är känd, men en annan parameter, som radien, sidan, basen eller höjden, är okänd. För att lösa dessa ekvationer använder vi oss av formeln för arean och löser för den okända variabeln.

Exempel: Lös en ekvation med cirkelns area

Om arean av en cirkel är \( A = 50 \pi \) cm², vad är radien \( r \)?

Lösning:

\[ A = \pi r^2 \implies 50 \pi = \pi r^2 \implies r^2 = 50 \implies r = \sqrt{50} \approx 7.07 \text{ cm} \]

Radien är ungefär 7.07 cm.

Exempel: Lös en ekvation med rektangelns area

En rektangel har en area på 30 cm² och basen \( b = 5 \) cm. Vad är höjden \( h \)?

Lösning:

\[ A = b \cdot h \implies 30 = 5 \cdot h \implies h = \frac{30}{5} = 6 \text{ cm} \]

Höjden är 6 cm.

Vanliga frågor

Omkretsen är längden runt en figur, medan arean är det totala ytinnehållet som figuren täcker. Omkretsen mäts i längdenheter (t.ex. cm, m) medan arean mäts i kvadratenheter (t.ex. cm², m²).

Nej, arean kan aldrig vara negativ eftersom den representerar ett ytinnehåll. Om du får ett negativt värde när du räknar ut arean har du förmodligen gjort ett fel i beräkningen.

Av alla figurer med samma omkrets har cirkeln störst area. Detta beror på att cirkeln är den mest effektiva formen när det gäller att maximera ytan i förhållande till omkretsen.

För att lösa en sådan ekvation behöver du använda formeln för arean och sätta in de kända värdena. Därefter löser du ekvationen för den okända variabeln. Till exempel, om du har en rektangel med area \( A = 30 \text{ cm}^2 \) och basen \( b = 5 \) cm, kan du lösa för höjden \( h \) genom att använda formeln \( A = b \cdot h \) och sätta in värdena:

\[ 30 = 5 \cdot h \implies h = \frac{30}{5} = 6 \text{ cm} \]


Sammanfattning

Att kunna beräkna arean för olika geometriska former och lösa ekvationer kopplade till dessa är grundläggande färdigheter inom geometri. Genom att använda de korrekta formlerna kan vi enkelt bestämma okända parametrar som radie, sida, bas eller höjd.