Förklaring

Vi testar punkterna:

Q: Har ett x-värde på (-4) och ett y-värde på 3. Sätter vi in det i linjen med ekvationen vi fick i frågan kan vi säga att om alternativet är rätt så gäller följande:
$3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = 0$
$-12 + 12 = 0$, vilket ärr korrekt

Därför är Q en av de korrekta punkterna.

Fortsätt med detta, sätt in punkternas x- och y-värden i funktionen och se om likheten stämmer. Då kommer du fram till att punkt Q och S är på linjen och att alternativ B därmed är korrekt.

Förklaring

Att axlarna är ritade i samma skala menas att varje längdenhet på x-axeln också motsvarar en längdenhet på y-axeln.

Tittar vi på linjen vi har: $y=3x-3$, ser vi att det är en rät linje som har k-värdet 3 och m-värdet (-3).

M-värdet är där linjen skär y-axeln. Då detta är negativt vet vi att linjen måste skära y-axeln på en punkt under origo. Därför kan vi utesluta alternativ B.

Tittar vi nu på k-värdet ser vi att det är positivt vilket innebär att linjen är stigande. Däremed kan vi utesluta alternativ C.

Om vi tittar på alternativ A, kan vi med hjälp av informationen om att axlarna är i samma skala, konstatera att förhållandet mellan x och y, dvs k-värdet här är runt 1. För varje längdenhet vi går till höger från linjen måste vi gå ungefär en längdenhet upp. Alternativ D har en brantare lutning som ser ut att ha ett k-värde på 3. Därför är svaret D

Förklaring

För att förstå hur linjen förändras när vi multiplicerar $m$ med $-1$ i ekvationen $y = kx + m$, där $k > 0$ och $m < 0$, ska vi analysera vad som händer med uttrycket och hur det påverkar linjens position och orientering i ett koordinatsystem.

Utgångspunkt
Första steget är att identifiera vad $k$ och $m$ representerar i linjens ekvation.
- $k$ är lutningen eller koefficienten för $x$. Detta beskriver hur brant linjen går.
- $m$ är y-skärningen, vilket är den punkt där linjen korsar y-axeln när $x=0$. Eftersom $m < 0$, betyder det att linjen korsar y-axeln under origo.

Ändra $m$
När vi multiplicerar $m$ med $-1$, ändras tecknet på $m$. Det betyder att om $m$ till exempel var $-5$, blir det nu $5$. Så, den nya ekvationen blir $y = kx - m$ om vi använder $-1 \cdot m$.

Analysera förändringen
När $m$ har bytt tecken från negativt till positivt (eller vice versa), förskjuts linjen vertikalt i koordinatsystemet eftersom endast y-skärningpunkten $m$ har ändrats:
- Ursprungligen, med $m < 0$, korsade linjen y-axeln under origo.
- Med $m$ multiplicerat med $-1$, korsar linjen nu y-axeln ovanför origo på exakt motsatt sida jämfört med ursprunget.

Resultat
Eftersom endast y-skärningspunkt ($m$) förändrats och inte lutningen ($k$), innebär det att linjen har förblivit parallell med sitt ursprungliga läge men 'glidit' uppåt eller nedåt längs y-axeln. Linjen har inte speglas över axlarna eller ändrat sin lutning. Den har bara förflyttats vertikalt. Därför är konklusionen att:

D: Linjen parallellförflyttas - är det korrekta alternativet. Linjen förblir parallell med sin ursprungliga position men flyttas vertikalt i positiv eller negativ y-riktning beroende på tecknet på $m$.

Förklaring

För att lösa denna uppgift behöver vi först förstå några grundläggande egenskaper hos linjära funktioner och vad det innebär att de skär varandra i rät vinkel.

1. Linjär funktion och lutning: En linjär funktion kan skrivas på formen $y = kx + m$, där $k$ är funktionens lutning (eller gradient) och $m$ är y-axelns skärningspunkt.

2. Funktionens skärning med y-axeln: Vi vet att $f(x)$ skär y-axeln vid punkten $(0, 4)$. Det innebär att $m = 4$ i vår funktion $f(x)$. Vi kan alltså skriva $f(x) = kx + 4$.

3. Rät vinkel mellan två linjer: När två linjer $y = k_1x + c_1$ och $y = k_2x + c_2$ skär varandra i en rät vinkel, är produkten av deras lutningar -1. Det vill säga, $k_1 \cdot k_2 = -1$.

4. Lutningen hos g(x): Från $g(x) = -x - 2$, kan vi identifiera att lutningen $k_g = -1$.

5. Beräkning av lutningen för f(x): Eftersom linjerna skär varandra i rät vinkel, och lutningen för $g(x)$ är $-1$, behöver vi hitta en lutning $k_f$ för $f(x)$ så att $k_f \cdot (-1) = -1$. Därav får vi att $k_f = 1$ eftersom $1 \cdot (-1) = -1$.

6. Skapa funktionen f(x): Nu när vi vet att $k_f = 1$, har vi vår funktion $f(x) = 1x + 4$ eller förenklat $f(x) = x + 4$.

Med denna information kan vi nu jämföra med svarsalternativen i uppgiften:

- A: $f(x) = x + 4$
- B: $f(x) = x - 4$
- C: $f(x) = -x$
- D: $f(x) = -x + 2$

Av dessa är det endast alternativ A som stämmer överens med vår härledda funktion $f(x) = x + 4$. Därmed är svaret på uppgiften:

A: $f(x) = x + 4$.

Förklaring

För att lösa denna uppgift behöver vi hitta värdet på $y$ när $x = -3$ för linjen $y = kx - 3$. Först måste vi bestämma värdet på $k$. Vi vet att punkten $(3, 3)$ ligger på linjen, vilket ger oss den information vi behöver för att lösa ut $k$.

1. Sätt in $x = 3$ och $y = 3$ i ekvationen $y = kx - 3$:
$$ 3 = 3k - 3 $$

2. För att lösa ut $k$, börjar vi med att addera 3 till båda sidorna av ekvationen:
$$ 3 + 3 = 3k $$
$$ 6 = 3k $$

3. Dividera båda sidorna med 3 för att isolera $k$:
$$ k = \frac{6}{3} $$
$$ k = 2 $$

Nu när vi har bestämt att $k = 2$, kan vi skriva om linjens ekvation med detta värde för $k$:
$$ y = 2x - 3 $$

4. Nästa steg är att beräkna $y$ när $x = -3$:
$$ y = 2(-3) - 3 $$
$$ y = -6 - 3 $$
$$ y = -9 $$

Så, när $x = -3$, är $y = -9$. Detta överensstämmer med svarsalternativ A: $-9$. Därför är det korrekta svaret på frågan vad $\boldsymbol{y}$ är då $\boldsymbol{x = -3}$, alternativ A: $-9$.