Funktioner algebraiskt

Snabbguide

  • Funktionsnotation: \( f(x) \) visar att \( f \) är en funktion av \( x \).
  • Beräkna funktionsvärden genom att sätta in x-värden i funktionsuttrycket.
  • Nollställen är de x-värden där \( f(x) = 0 \).
  • Definitionsmängden är alla x-värden funktionen kan anta, medan värdemängden är alla möjliga y-värden.
  • Symmetriska funktioner kan vara jämna eller udda, beroende på hur de beter sig när vi byter ut \( x \) mot \( -x \).

En algebraisk funktion är ett uttryck som beskriver ett samband mellan en inmatningsvariabel, ofta kallad \( x \), och en utmatningsvariabel, ofta kallad \( y \). Funktioner kan skrivas på olika sätt och kan användas för att lösa många typer av problem. I den här genomgången kommer vi att gå igenom hur man arbetar med algebraiska funktioner, deras skrivsätt, beräkningar och hur man tolkar dem.

Algebraiska skrivsätt för funktioner

Funktioner kan representeras på flera olika sätt, men några vanliga skrivsätt är:

  • Funktionsnotation: \( f(x) = 2x + 3 \). Detta skrivsätt används för att tydligt visa att vi har en funktion \( f \) som beror på variabeln \( x \). Detta sätt gör det också enkelt att byta ut \( x \) mot ett specifikt värde.
  • Explicit form: \( y = 2x + 3 \). Detta skrivsätt är liknande funktionsnotationen, men här är \( y \) den oberoende variabeln och \( x \) den beroende variabeln.
  • Implicit form: \( x^2 + y^2 = 25 \). Här är både \( x \) och \( y \) inblandade i uttrycket och det är inte lika uppenbart vilken variabel som är beroende av den andra.

Beräkningar med funktioner

För att beräkna värdet av en funktion för ett givet x-värde sätter vi in x i funktionsuttrycket. Låt oss gå igenom några exempel.

Exempel 1: Beräkning med en linjär funktion

Exempel: Beräkna värdet av funktionen \( f(x) = 2x + 3 \) när \( x = 4 \).

Lösning:

\[ f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11 \]

När \( x = 4 \) är värdet av funktionen \( f(4) = 11 \).

Exempel 2: Beräkning med en kvadratisk funktion

Exempel: Beräkna värdet av funktionen \( g(x) = x^2 - 5x + 6 \) när \( x = 2 \).

Lösning:

\[ g(2) = 2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \]

När \( x = 2 \) är värdet av funktionen \( g(2) = 0 \).

Att tolka algebraiska funktioner

När vi tolkar algebraiska funktioner försöker vi förstå hur funktionen beter sig för olika x-värden. Här är några viktiga koncept att känna till:

  • Nollställen: Nollställen är de x-värden där funktionen är noll, det vill säga där grafen skär x-axeln. För att hitta nollställen sätter vi \( f(x) = 0 \) och löser för \( x \).
  • Definitionsmängd: Definitionsmängden är alla x-värden som funktionen kan anta. Exempelvis är definitionsmängden för funktionen \( f(x) = \sqrt{x - 1} \) alla x-värden som är större än eller lika med 1, eftersom vi inte kan ta roten ur ett negativt tal i denna kontext.
  • Värdemängd: Värdemängden är alla möjliga y-värden som funktionen kan anta. För exempelvis \( f(x) = x^2 \) är värdemängden alla positiva y-värden (och 0) eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.
  • Symmetri: En funktion kan vara symmetrisk kring y-axeln (jämn funktion) eller symmetrisk kring origo (udda funktion). Detta kan vi se om vi byter ut \( x \) mot \( -x \) och får tillbaka samma funktion eller den negativa av funktionen.

Exempel 3: Nollställen och definitionsmängd

Exempel: Hitta nollställena och bestäm definitionsmängden för funktionen \( h(x) = x^2 - 4 \).

Nollställen:

\[ h(x) = x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \]

Nollställena är \( x = 2 \) och \( x = -2 \).

Definitionsmängd: Eftersom funktionen \( h(x) = x^2 - 4 \) är en polynomfunktion, är den definierad för alla reella tal. Alltså är definitionsmängden: \( x \in \mathbb{R} \).

Vanliga frågor

För att bestämma nollställen för en funktion sätter du funktionen lika med noll, \( f(x) = 0 \), och löser ekvationen för \( x \). Nollställen är de värden på \( x \) där funktionen skär x-axeln.

Definitionsmängden är alla möjliga x-värden som funktionen kan anta, medan värdemängden är alla möjliga y-värden som funktionen kan anta. Till exempel, för funktionen \( f(x) = \sqrt{x} \) är definitionsmängden \( x\geq 0 \) eftersom vi inte kan ta roten ur negativa tal, och värdemängden är \( y \geq 0 \) eftersom resultatet av en kvadratrot alltid är ett icke-negativt tal.

En funktion är jämn om \( f(-x) = f(x) \) för alla \( x \) i definitionsmängden, vilket innebär att grafen är symmetrisk kring y-axeln. En funktion är udda om \( f(-x) = -f(x) \), vilket innebär att grafen är symmetrisk kring origo. Ett exempel på en jämn funktion är \( f(x) = x^2 \) och ett exempel på en udda funktion är \( f(x) = x^3 \).

För att hitta en funktions maximi- eller minimipunkt kan du använda derivatan av funktionen, vilket visar hur funktionen förändras. Maximi- eller minimipunkter uppstår där derivatan är noll, det vill säga där lutningen av grafen är horisontell. Detta är dock över kursen för Matematik 2c, så för enklare fall kan du titta på grafens form och bestämma extrema punkter visuellt, såsom toppar eller dalar.


Sammanfattning

Algebraiska funktioner är ett kraftfullt verktyg för att beskriva matematiska samband. Genom att förstå hur funktioner skrivs, beräknas och tolkas kan vi lösa många typer av problem.