Bestämma räta linjens ekvation från en graf

Snabbguide

  • Bestäm lutningen \( k \) genom att ta skillnaden i y och x mellan två punkter: \( k = \frac{\Delta y}{\Delta x} \).
  • Hitta skärningspunkten \( m \) med y-axeln genom att leta efter punkten där linjen skär y-axeln, alltså där x är 0.
  • Skriv hela ekvationen som \( y = kx + m \) när du har både k och m.
  • Kontrollera ekvationen genom att sätta in några punkter från grafen för att se om de uppfyller ekvationen.

Att kunna läsa av en graf och bestämma ekvationen för den linje som representeras är en grundläggande färdighet inom algebra. Räta linjens ekvation har formen:

\[ y = kx + m \]

Här är:

  • k: Lutningen på linjen, som beskriver hur mycket y-värdet förändras när x-värdet ökar med 1.
  • m: Skärningspunkten med y-axeln, alltså det värde på y när x är 0.

Hur man bestämmer lutningen (k) från en graf

För att bestämma lutningen \( k \) från en graf behöver vi hitta två punkter på linjen. Vi använder dessa punkter för att beräkna förändringen i y-värdet (\( \Delta y \)) och förändringen i x-värdet (\( \Delta x \)). Lutningen beräknas sedan som:

\[ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

Exempel: Bestämma lutningen från en graf

Anta att vi har en linje som passerar genom punkterna \( (1, 2) \) och \( (4, 5) \). Vi kan beräkna lutningen genom att använda formeln ovan:

\[ \Delta y = 5 - 2 = 3 \]

\[ \Delta x = 4 - 1 = 3 \]

\[ k = \frac{3}{3} = 1 \]

Detta betyder att lutningen på linjen är 1, vilket innebär att y-värdet ökar med 1 för varje enhetsökning i x-värdet.

Exempel på hur man bestämmer lutningen från en graf

Hur man bestämmer skärningspunkten med y-axeln (m)

Skärningspunkten med y-axeln, \( m \), är det värde där linjen skär y-axeln. Detta innebär att x-värdet är 0 vid denna punkt. För att hitta m-värdet i grafen, letar vi efter punkten där linjen korsar y-axeln.

Exempel: Bestämma skärningspunkten med y-axeln

Tänk dig en graf där linjen korsar y-axeln vid punkten \( (0, 3) \). Detta innebär att skärningspunkten är:

\[ m = 3 \]

Detta är m-värdet, vilket är det y-värde där linjen korsar y-axeln.

Exempel på hur man bestämmer skärningspunkten med y-axeln från en graf

Bestämma hela ekvationen från en graf

När vi har både lutningen \( k \) och skärningspunkten med y-axeln \( m \) kan vi skriva hela ekvationen för linjen. Låt oss gå igenom ett exempel där vi bestämmer både k och m från en graf och sedan skriver ekvationen.

Exempel: Bestämma ekvationen för en linje

Anta att vi har en linje som går genom punkterna \( (2, 4) \) och \( (4, 8) \) samt skär y-axeln vid \( m = 2 \).

Steg 1: Beräkna lutningen.

\[ k = \frac{8 - 4}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Steg 2: Skärningspunkten är redan given som \( m = 2 \).

Steg 3: Sätt samman ekvationen.

\[ y = 2x + 2 \]

Detta är ekvationen för linjen som går genom punkterna och skär y-axeln vid 2.

Vanliga frågor

Om du inte har några exakta punkter på grafen kan du försöka hitta två punkter där linjen tydligt passerar genom skärningarna mellan rutorna i koordinatsystemet. Använd dessa punkter för att beräkna lutningen genom att räkna rutor för \( \Delta y \) och \( \Delta x \).

Om linjen inte tydligt skär y-axeln kan du använda ekvationen \( y = kx + m \) och sätta in k-värdet och en punkt från grafen för att lösa ut m. Välj en tydlig punkt \( (x_1, y_1) \), sätt in den i ekvationen och lös ut m.

För att kontrollera att din ekvation stämmer med grafen kan du välja ett par x-värden från grafen och sätta in dem i din ekvation för att se om du får samma y-värden som på grafen. Om ekvationen stämmer med alla punkter på linjen har du hittat rätt ekvation.


Sammanfattning

Att bestämma ekvationen för en rät linje från en graf innebär att vi hittar både lutningen \( k \) och skärningspunkten med y-axeln \( m \). Genom att använda två tydliga punkter på linjen kan vi beräkna lutningen som \( \Delta y / \Delta x \), och genom att läsa av var linjen skär y-axeln kan vi hitta m-värdet.