Ekvationssystem och grafisk lösning

Ett ekvationssystem består av två eller flera ekvationer som är sammanlänkade med varandra. Målet är att hitta ett gemensamt värde för variablerna som uppfyller alla ekvationer i systemet. Ett sätt att lösa ekvationssystem är genom att använda en grafisk metod, där vi hittar skärningspunkten mellan graferna för ekvationerna. Denna metod är nog den som går fortast vilket kan vara till stor fördel på HP (högskoleprovet) med tanke på tidspressen som provet bär med sig.

Snabbguide

  • Ekvationssystem: Två eller flera ekvationer som är sammanlänkade.
  • Grafisk lösning: Rita graferna och hitta skärningspunkten.
  • Skärningspunkt: Lösningen på ekvationssystemet, där båda ekvationerna är sanna samtidigt.

Vad är ett ekvationssystem?

Ett ekvationssystem kan beskrivas med två eller flera ekvationer, till exempel:

\[ \begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases} \]

Målet är att hitta den punkt \((x, y)\) där båda ekvationerna är sanna samtidigt. Detta kan vi göra genom att rita graferna för båda ekvationerna i ett koordinatsystem och leta efter skärningspunkten.

Grafisk lösning av ekvationssystem

För att lösa ett ekvationssystem grafiskt ritar vi upp graferna för de båda ekvationerna i ett koordinatsystem. Där graferna skär varandra finns den gemensamma lösningen.

Exempel: Lösning av ekvationssystem grafiskt

Vi har ekvationssystemet:

\[ \begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases} \]

Rita graferna för båda ekvationerna i samma koordinatsystem. Precis som nedan:

Grafisk lösning av ekvationssystem


Vi ser att linjerna skär varandra i punkten \( (1, 3) \). Det betyder att lösningen på ekvationssystemet är \( x = 1 \) och \( y = 3 \).

Hur ritar man grafer för ekvationerna?

Läs allt om räta linjens ekvation och funktioner samt grafiska lösningar under kursen om funktioner.

För att rita graferna för ekvationerna behöver vi välja några punkter som uppfyller varje ekvation. Till exempel, för ekvationen \( y = 2x + 1 \) kan vi välja följande punkter:

  • Om \( x = 0 \), då är \( y = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \). Punkterna är \( (0, 1) \).
  • Om \( x = 1 \), då är \( y = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \). Punkterna är \( (1, 3) \).
  • Om \( x = -1 \), då är \( y = 2 \cdot (-1) + 1 = -1 \). Punkterna är \( (-1, -1) \).

För ekvationen \( y = -x + 4 \) kan vi välja följande punkter:

  • Om \( x = 0 \), då är \( y = -0 + 4 = 4 \). Punkterna är \( (0, 4) \).
  • Om \( x = 1 \), då är \( y = -1 + 4 = 3 \). Punkterna är \( (1, 3) \).
  • Om \( x = 2 \), då är \( y = -2 + 4 = 2 \). Punkterna är \( (2, 2) \).

Rita linjerna i ett koordinatsystem

För att rita linjerna i ett koordinatsystem markerar vi punkterna och drar en linje genom dem. På så sätt kan vi se var linjerna skär varandra som i bilden nedan:

Linjer för ekvationssystemet i ett koordinatsystem


Vanliga frågor

Om linjerna inte skär varandra betyder det att ekvationssystemet inte har någon gemensam lösning. Detta händer när linjerna är parallella. I ett sådant fall är ekvationssystemet inkonsistent och har ingen lösning.

Om linjerna överlappar varandra helt betyder det att ekvationssystemet har oändligt många lösningar. Alla punkter på linjen uppfyller båda ekvationerna, och därför är varje punkt en lösning.

Ja, du kan lösa ett ekvationssystem med fler än två ekvationer grafiskt, men det blir svårare eftersom du måste hitta en gemensam skärningspunkt för alla ekvationerna. I praktiken är det enklare att lösa sådana system algebraiskt, till exempel med substitutionsmetoden eller additionsmetoden.

Ja, det går att lösa icke-linjära ekvationssystem grafiskt, till exempel system som innehåller en linjär ekvation och en kvadratisk ekvation. Du behöver rita graferna för varje ekvation och leta efter skärningspunkterna. Antalet lösningar kan variera beroende på grafernas form och läge.


Sammanfattning

Grafisk lösning av ekvationssystem är ett visuellt sätt att hitta en gemensam lösning för två eller flera ekvationer. Genom att rita graferna och hitta skärningspunkten kan vi se var ekvationerna har samma värden.