Förklaring

För att lösa den här uppgiften behöver vi hitta de heltalen $x$, $y$ och $z$ som uppfyller de båda villkoren $xyz = 12$ och $0 < x < y < z.$ Vi strävar efter att maximera $z - x$.

Steg 1: Faktorisering av 12
Vi börjar med att faktorisera $12$ i alla möjliga sätt att uttrycka 12 som en produkt av tre positiva heltal:
- $1 \times 2 \times 6 = 12$
- $1 \times 3 \times 4 = 12$
- $2 \times 2 \times 3 = 12$

Steg 2: Kontrollera ordningsvillkoret $0 < x < y < z$
Vi måste se till att de tal vi väljer följer ordningsvillkoret $x < y < z$.

# Alternativ 1: $1 \times 2 \times 6$
Här är $x = 1$, $y = 2$, och $z = 6$. Så vi får $z - x = 6 - 1 = 5$.
Detta uppfyller ordningsvillkoret och ger en skillnad $z - x$ på $5$.

# Alternativ 2: $1 \times 3 \times 4$
Här är $x = 1$, $y = 3$, och $z = 4$. Så vi får $z - x = 4 - 1 = 3$.
Detta uppfyller också ordningsvillkoret men ger en mindre skillnad $z - x$ på $3$.

# Alternativ 3: $2 \times 2 \times 3$
Dessa tal uppfyller inte ordningsvillkoret eftersom $2 \leq 2 \leq 3$ och därmed inte strikt mindre än varandra ($x < y < z$) håller inte.

Steg 3: Sammanfattning
Bland de faktoriseringar som uppfyller ordningsvillkoret $x < y < z$, är:
- $z - x = 5$ när faktoriseringen är $1 \times 2 \times 6$.

Inget annat alternativ ger en större skillnad mellan $z$ och $x$ än detta, vilket gör att:

Det största möjliga värdet på $z - x$ är $5$.

Slutsats
Det rätta svaret på frågan är därför alternativ:
C: $5$

Förklaring

För att lösa denna uppgift och rangordna de givna bråktalen behöver vi jämföra dem med varandra. Vi kan göra detta genom att antingen omvandla bråktalen till decimalform eller genom att jämföra dem genom att beräkna en gemensam nämnare. I detta fall, för att underlätta utan en miniräknare, föreslår jag att vi använder en gemensam nämnare.

Vi har bråktalen $ \frac{2}{5} $, $ \frac{1}{2} $, och $ \frac{3}{4} $. Dessa bråkar gör vi enklare att jämföra om vi först omvandlar dem så att alla har samma nämnare.

Den minsta gemensamma nämnaren för 5, 2 och 4 är 20. Därför omvandlar vi varje bråktal till en ekvivalent form med nämnaren 20:

- För $ \frac{2}{5} $, multiplicera både täljaren och nämnaren med 4 (eftersom $5 \times 4 = 20$):
\[
\frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20}
\]

- För $ \frac{1}{2} $, multiplicera täljaren och nämnaren med 10 (eftersom $2 \times 10 = 20$):
\[
\frac{1}{2} = \frac{1 \times 10}{2 \times 10} = \frac{10}{20}
\]

- För $ \frac{3}{4} $, multiplicera täljaren och nämnaren med 5 (eftersom $4 \times 5 = 20$):
\[
\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}
\]

Sedan jämför vi de nya bråktalen:
- $ \frac{8}{20} $ (0.4)
- $ \frac{10}{20} $ (0.5)
- $ \frac{15}{20} $ (0.75)

Här ser vi nu tydligt att $ \frac{8}{20} < \frac{10}{20} < \frac{15}{20} $. Med andra ord, $ \frac{2}{5} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4} $.

Därför kan vi klart konstatera att svaret är B: $\frac{2}{5}<\frac{1}{2}<\frac{3}{4}$.

Förklaring

För att lösa olikheten $3x - 8 < 2x + 4$, börjar vi med att förenkla uttrycket genom att få alla termer med $x$ på ena sidan av olikheten och alla konstanta termer på den andra. Vi vill isolera $x$ så vi kan enkelt jämföra den med ett numeriskt värde.

Steg 1: Subtrahera $2x$ från båda sidor av olikheten.
\[3x - 8 < 2x + 4 \implies 3x - 2x < 4 + 8\]

Steg 2: Förenkla vänster sida (kombinera termer med $x$) och höger sida (kombinera konstanter).
\[x < 12 \]

Nu har vi lösningen till olikheten. Det innebär att värdet på $x$ måste vara mindre än 12 för att olikheten $3x - 8 < 2x + 4$ ska vara sann.

Svarsalternativ:

- A: $x < 12$
- B: $x > 12$
- C: $x < -4$
- D: $x > -4$

Baserat på beräkningen är korrekt svarsalternativ A: $x < 12$. De andra alternativen stämmer inte överens med vår lösta olikhet. Alternativ B, $x > 12$, är precis motsatsen till vad vi kom fram till. Alternativ C och D är inte relevanta, då de behandlar värden runt $-4$, vilket ligger långt ifrån den beräknade skärningspunkten med talet $12$.

Sammanfattningsvis har vi utgått från olikheten, omorganiserat och isolerat $x$ för att finna att $x$ måste vara mindre än $12$ för att uppfylla olikhetens villkor. Det övriga alternativen stämmer inte överens med vår beräkning, vilket gör att A är det enda korrekta svaret.

Förklaring

För att lösa den här uppgiften börjar vi med att förstå vad det innebär att $x, y, z$ och $w$ är negativa tal samt vad relationen $zw > xy$ innebär.

Observera att om $x, y, z, w$ är negativa, är alla produkter av två negativa tal (som $xy$ och $zw$) positiva, eftersom minus gånger minus blir plus. Detta innebär att både $zw$ och $xy$ är positiva tal.

Förutsättningen $zw > xy$ säger att produkten av $z$ och $w$ är större än produkten av $x$ och $y$. Vi ska nu utvärdera vad detta innebär för uttrycken $-xy$ och $-zw$:

Eftersom både $xy$ och $zw$ är positiva tal, blir både $-xy$ och $-zw$ negativa tal. Att säga $zw > xy$ är detsamma som att säga att $zw$ är längre ifrån noll på den positiva axeln än vad $xy$ är. När dessa vänds till sina negativa motsvarigheter, leder det till att $-zw$ kommer att vara närmare noll än vad $-xy$ är.

Att hävda att $-zw$ är närmare noll än $-xy$ är ekvivalent med att säga att $-zw$ är större än $-xy$ i termer av negativa tal på en talaxel. Därför:
\[
-zw > -xy
\]
Detta ger oss det korrekta svaret i uppgiften.

De andra alternativen kan inte säkerställas bara baserat på informationen $zw > xy$:
- $w > x$ förutsätter en relation mellan enskilda variabler som vi inte kan utläsa från $zw > xy$.
- $-z > -y$ kan inte heller fastställas då vi inte vet förhållandet mellan $z$ och $y$ individuellt baserat på produkten $zw$ och $xy$.
- $xz > yw$ skulle kräva ytterligare information om förhållandena mellan alla variabler, vilket inte ges av bara $zw > xy$.

Därmed är endast alternativ D säkert korrekt i sammanhanget av den givna informationen.

Förklaring

För att lösa den här uppgiften, där vi ska bestämma hur många olika värden $x$ kan anta givet att $x$ och $y$ är positiva heltal som uppfyller $0 < x < y < 10$, kan vi börja med att analysera de givna olikheterna steg för steg.

1. Begränsningar för $y$:
Eftersom $y$ är ett positivt heltal mindre än 10, kan $y$ anta värdena $1$, $2$, $3$, ..., $9$.

2. Begränsningar för $x$:
Vi vet att $x$ är ett positivt heltal och att $x < y$. Det innebär att $x$ kan vara vilket positivt heltal som helst som är mindre än $y$.

3. Möjliga värden på $x$:
- Om $y = 1$, kan $x$ inte vara något eftersom det inte finns något positivt heltal som är mindre än 1.
- Om $y = 2$, kan $x$ vara $1$ (eftersom $1 < 2$).
- Om $y = 3$, kan $x$ vara $1$ eller $2$.
- Följer detta mönster, kan vi se att för varje $y$ finns det $y-1$ möjliga värden för $x$.

4. Unika värden av $x$ oberoende av $y$:
Vi är dock endast intresserade av att veta det unika antalet olika värden $x$ kan ta, inte de individuella kombinationerna med $y$.

5. Ta fram det maximala värdet av $x$:
Eftersom $y$ kan vara som störst $9$, är det maximala värdet av $x$ som följer $x < y$ lika med $8$. Detta eftersom $x$ måste vara ett positivt heltal som är åtminstone en enhet mindre än $y$ för alla möjliga värden på $y$ från $2$ till $9$:
- När $y=2$, är $x=1$
- När $y=3$, kan $x=1$ eller $2$
- När $y=4$, kan $x=1$, $2$ eller $3$
- När $y=5$, kan $x=1$, $2$, $3$ eller $4$
- ...
- När $y=9$, kan $x=1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ eller $8$

Här ser vi att det största talet $x$ kan anta är $8$, och eftersom $x$ är ett positivt heltal finns det inga "gap" eller uteblivna värden inom detta spann. $x$ kan anta alla positiva heltal från $1$ till $8$.

Slutsats: Det finns $8$ olika möjliga värden som $x$ kan anta givet de angivna villkoren. Därför är svaret på frågan C: $8$.