Faktorisering i Algebra

Faktorisering är en kraftfull metod inom algebra där ett uttryck bryts ner i sina enklaste beståndsdelar, kallade faktorer. Detta kan användas för att förenkla algebraiska uttryck, lösa ekvationer och förstå underliggande strukturer i algebraiska problem. Här är en djupare genomgång av olika faktoriseringstekniker som du kan stöta på under högskoleprovet.

Vad är faktorisering?

Faktorisering innebär att skriva ett algebraiskt uttryck som en produkt av två eller fler enklare uttryck. Ett grundläggande exempel är:

$$2x+6=2(x+3)$$

Här är $2$ en gemensam faktor som kan brytas ut från båda termerna. Detta ger oss det faktoriserade uttrycket $2(x+3)$.

Största Gemensamma Faktor (SGF)

En av de första sakerna du bör leta efter när du faktoriserar ett uttryck är den största gemensamma faktorn (SGF) mellan termerna. SGF är den största faktorn som kan delas mellan alla termer. Här är ett exempel:

$$4x^2+8x=4x(x+2)$$

I detta fall är $4x$ den största gemensamma faktorn för båda termerna $4x^2$ och $8x$, och vi bryter ut den ur uttrycket.

Hur hittar man SGF?

För att hitta SGF:

1. Identifiera den största numeriska faktorn som är gemensam för alla termer.
2. Identifiera de variabler som är gemensamma för alla termer och ta den med lägst exponent.

Exempel:

$$12x^3{y}^2+18x^{2}y=6x^{2}y(2xy+3)$$

Här är $6x^{2}y$ den största gemensamma faktorn.

Faktorisering av Kvadratiska Uttryck

Kvadratiska uttryck på formen $a{x}^2+bx+c$ kan faktoriseras genom att hitta två tal som multipliceras för att ge $ac$ och adderas för att ge $b$. Ett vanligt exempel är:

$$x^2+7x+12$$

För att faktorisera detta letar vi efter två tal som multipliceras till $12$ och summeras till $7$. Dessa tal är $3$ och $4$, så vi skriver:

$$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$$

Fullständiga kvadrater

I vissa fall kan ett kvadratiskt uttryck redan vara en "fullständig kvadrat", vilket innebär att det kan skrivas som en produkt av två identiska faktorer. Ett exempel på en fullständig kvadrat är:

$$x^2+6x+9=(x+3)(x+3)=(x+3{)}^2$$

Här har $6x$ kommit från $2\cdot 3\cdot x$ och $9$ är $3^2$, vilket gör det till en fullständig kvadrat.

Skillnaden mellan två kvadrater (Läs mer på lektionen om konjugat & kvadreringsregler)

En annan viktig teknik är att känna igen skillnaden mellan två kvadrater, som kan faktoriseras med följande formel:

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

Till exempel:

$$x^2-16=(x+4)(x-4)$$

I detta fall är $x^2$ en kvadrat och $16$ är kvadraten av $4$. Denna teknik används ofta i problem där uttrycket har formen av en skillnad mellan två kvadrater. 

Faktorisering av Polynom av Högre Grad

När du arbetar med polynom av högre grad än två, som till exempel kubiska polynom, kan du behöva använda gruppfaktorisering eller bryta ut en gemensam faktor innan du tillämpar andra faktoriseringstekniker. Låt oss titta på ett exempel:

$$2x^3+4x^2-6x$$

Här kan vi först bryta ut $2x$:

$$2x(x^2+2x-3)$$

Nu kan vi faktorisera den kvarvarande kvadratiska delen:

$$2x(x+3)(x-1)$$

Slutresultatet är alltså $2x(x+3)(x-1)$.

Sammanfattning

Faktorisering är en grundläggande metod inom algebra som används för att förenkla uttryck och lösa ekvationer. Genom att förstå tekniker som att bryta ut den största gemensamma faktorn, använda skillnaden mellan två kvadrater och faktorisera kvadratiska uttryck, kan du lösa algebraiska problem på högskoleprovet mer effektivt. Nyckeln är att öva på att känna igen dessa mönster och använda dem i praktiken.