Förklaring

För att lösa denna uppgift, behöver vi först förstå uttrycket och hur vi ska förenkla det steg för steg. Uppgiften ger oss uttrycket $\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}$ och vi vet att $x=4$.

Steg 1: Sätt in värdet på $x$.
Vi börjar med att ersätta $x$ med 4 i uttrycket, vilket ger oss:
\[
\frac{1}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}.
\]

Steg 2: Förenkla uttrycket i nämnaren.
Först och främst behöver vi beräkna $\frac{1}{4} + \frac{1}{2}$. För att addera de här bråken behöver de ha samma nämnare. Nämnaren vi kan använda är 4 (eftersom det är den minsta gemensamma nämnaren):
\[
\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}.
\]
Nu ser vår uträkning ut så här:
\[
\frac{1}{\frac{3}{4}}.
\]

Steg 3: Beräkna värdet.
Vi kan skriva om $\frac{1}{\frac{3}{4}}$ till att bli en division av bråk, vilket leder till att vi multiplicerar med det inverterade värdet av $\frac{3}{4}$, alltså:
\[
\frac{1}{\frac{3}{4}} = 1 \times \frac{4}{3} = \frac{4}{3}.
\]

Därmed har vi kommit fram till att uttrycket $\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}$ är $\frac{4}{3}$ när $x=4$.

Det betyder att det korrekta svarsalternativet är:
C: $\frac{4}{3}$.

Förklaring

För att lösa denna uppgiften bör vi börja med att förenkla uttrycket
\[
\Large{\frac{\frac{3}{x}}{\frac{y}{7}}}.
\]
Vi använder en grundläggande egenskap för att dividera bråk, vilken är att dividera med ett bråk är samma sak som att multiplicera med dess reciprok (omvändning). Reciproken av $\frac{y}{7}$ är $\frac{7}{y}$. Då kan divisionen skrivas om som en multiplikation:

\[
\frac{\frac{3}{x}}{\frac{y}{7}} = \frac{3}{x} \cdot \frac{7}{y}.
\]

Förenkla detta till ett enda bråk ger:

\[
\frac{3 \cdot 7}{x \cdot y} = \frac{21}{xy}.
\]

Enligt uppgiften är det givna värdet av detta uttryck 1, alltså:

\[
\frac{21}{xy} = 1.
\]

För att lösa denna ekvation för produkten $xy$, multiplicera båda sidor med $xy$ (tänk på att $xy$ inte kan vara 0 för då är divisionen inte definierad):

\[
21 = xy.
\]

Detta visar att produkten av $x$ och $y$ måste vara 21. Nu vet vi att $xy = 21$. Om vi tittar på svarsalternativen ser vi att svaret:

D: $xy=21$, är det korrekta svarsalternativet. Att förstå hur man manipulerar och förenklar bråk är viktigt för att kunna lösa många typer av matematiska problem. I det här fallet hjälpte det oss att hitta produkten av $x$ och $y$.

Förklaring

Först ska vi börja med att lösa uttrycket på höger sida av ekvationen $\frac{1}{x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$. För att kunna addera bråken måste vi först hitta en gemensam nämnare. Nämnarna här är 2 och 3, och minsta gemensamma nämnaren (MGN) för dem är 6.

Vi omvandlar nu bråken till samma nämnare:
- För $\frac{1}{2}$: Multiplicera både täljare och nämnare med 3 för att få samma nämnare som det andra bråket. Det ger:
$$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} $$

- För $\frac{1}{3}$: Multiplicera både täljare och nämnare med 2. Det ger:
$$ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} $$

Nu kan vi addera de två bråken:
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} $$

Ekvationen $\frac{1}{x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ blir alltså $\frac{1}{x} = \frac{5}{6}$. Nu behöver vi lösa ut $x$. Eftersom $\frac{1}{x} = \frac{5}{6}$ innebär det att $x$ är inversen av $\frac{5}{6}$. Inversen av ett bråk hittar vi genom att byta plats på täljare och nämnare. Så:
$$ x = \frac{6}{5} $$

Detta betyder att $x = \frac{6}{5}$, vilket matchar svarsalternativ B: $\frac{6}{5}$. Det är det korrekta svaret på frågan.

Förklaring

För att lösa denna uppgift behöver vi först uttrycka $a$ i termer av $c$ genom att använda de båda relationerna som ges i uppgiften.

1. Vi börjar med att ersätta $b$ i uttrycket för $a$. Från uppgiften har vi att $a = \frac{2}{b}$ och $b = \frac{3}{c}$.

Sätt in uttrycket för $b$ i ekvationen för $a$:
\[
a = \frac{2}{b} = \frac{2}{\frac{3}{c}} = 2 \cdot \frac{c}{3} = \frac{2c}{3}
\]

Alltså, $a = \frac{2c}{3}$.

2. Nästa steg är att bestämma hur många $a$ som motsvarar $6c$. Vi vet nu att $a = \frac{2c}{3}$. Vi vill veta hur många av $a$ som motsvarar $6c$.

Vi ställer upp ett förhållande där vi delar $6c$ med $a$:
\[
\text{Antal } a \text{ i } 6c = \frac{6c}{a} = \frac{6c}{\frac{2c}{3}}
\]

3. För att utföra denna division kan vi multiplicera $6c$ med den inverterade versionen av $\frac{2c}{3}$:
\[
\frac{6c}{a} = \frac{6c}{\frac{2c}{3}} = 6c \cdot \frac{3}{2c} = \frac{6 \cdot 3}{2} \cdot \frac{c}{c}
\]
Notera att $c$ i täljare och nämnare tar ut varandra (förutsatt att $c \neq 0$).

\[
\frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9
\]

Så, $\boldsymbol{6c}$ motsvarar $\boldsymbol{9}$ av $a$. Därför är det korrekta svarsalternativet B: $9$.

Förklaring

För att lösa denna uppgift bör vi börja med att förstå förhållanden mellan kvoten och nämnaren som ges. I uppgiften ges att kvoten mellan två tal är $\frac{26}{35}$ och att nämnaren är $\frac{28}{39}$. Uppgiften frågar efter vad täljaren är.

1. Börja med att identifiera relationen mellan kvot, täljare och nämnare i en division:
\[
\text{Kvot} = \frac{\text{Täljare}}{\text{Nämnare}}
\]
Vi vet att kvoten är $\frac{26}{35}$ och nämnaren är $\frac{28}{39}$.

2. För att hitta täljaren, kan vi sätta in dessa värden i formeln:
\[
\frac{26}{35} = \frac{\text{Täljare}}{\frac{28}{39}}
\]
3. För att lösa ut täljaren, multiplicera båda sidor med nämnaren $\frac{28}{39}$:
\[
\text{Täljare} = \frac{26}{35} \cdot \frac{28}{39}
\]

4. Nu måste vi multiplicera två bråk. För att göra detta, multiplicera täljarna med varandra och nämnarna med varandra:
\[
\text{Täljare} = \frac{26 \cdot 28}{35 \cdot 39}
\]

5. Utför multipikationen i täljaren och nämnaren:
\[
26 \cdot 28 = 728 \\
35 \cdot 39 = 1365
\]
Därför är täljaren:
\[
\text{Täljare} = \frac{728}{1365}
\]

6. Vi behöver förenkla detta bråk. Notera att vi kan förenkla genom att dela täljare och nämnare med deras största gemensamma delare. Börja med att dela 728 och 1365 med mindre tal, men här kan du testa ganska snart att dela genom 91:
\[
\frac{728 \div 91}{1365 \div 91} = \frac{8}{15}
\]

Detta ger oss slutligen $\frac{8}{15}$ som täljare.

Det korrekta svarsalternativet som motsvarar detta är D: $\frac{8}{15}$. Det här visar oss att genom att förstå grundläggande bråkregler samt multiplikation och förenkling av bråk kan man lösa denna typ av problem.

Förklaring

För att lösa denna uppgift ska vi börja med att förenkla och lösa ekvationen steg för steg.

Eftersom uppgiften är:
\[ \frac{x \cdot 3 \cdot 9}{100 \cdot 12} = 81 \]

börjar vi med att multiplicera tillsammans konstanterna i täljaren och nämnaren:
\[ \frac{x \cdot 27}{1200} = 81 \]

För att isolera $x$, först multiplicerar vi båda sidor med $1200$ (det som står i nämnaren) för att få:
\[ x \cdot 27 = 81 \cdot 1200 \]

Vi utför multipikationen på höger sida:
\[ 81 \cdot 1200 = 97200 \]

Så, ekvationen blir nu:
\[ x \cdot 27 = 97200 \]

Nästa steg är att isolera $x$. Det gör vi genom att dela båda sidor med $27$:
\[ x = \frac{97200}{27} \]

Vi utför divisionen (vilket kanske kan kräva lite papper och penna):
$ 97200 \div 27 = 3600 $

Då ser vi att $ x = 3600 $

Detta svar matchar med alternativ C: $3600$, vilket är det korrekta svaret. Därmed har vi visat att x måste vara 3600 för att ekvationen ska stämma.

Förklaring

För att lösa denna uppgift behöver vi hantera ekvationen:

\[
\frac{b}{a+x} = \frac{b}{2x}
\]

Till att börja med kan vi observera att om $ b \neq 0 $ (vilket anges i uppgiften), kan vi multiplicera båda sidor av ekvationen med $ (a+x)(2x) $ för att eliminera nämnarna, under antagandet att varken $ a+x $ eller $ 2x $ är noll.

\[
b(2x) = b(a+x)
\]

Nu förenklar vi ekvationen:

\[
2bx = ba + bx
\]

För att lösa ut $ x $, subtraherar vi $ bx $ från båda sidor:

\[
2bx - bx = ba
\]

\[
bx = ba
\]

Eftersom $ b \neq 0 $, kan vi dividera båda sidor med $ b $ (detta är tillåtet eftersom $ b $ inte är noll), vilket ger:

\[
x = a
\]

Detta resultat visar att $ x $ måste vara lika med $ a $ för att ursprungsekvationen ska stämma under de givna förutsättningarna. Därför är det korrekta svaret:

D: $ a $

Detta är det enda alternativet som direkt motsvarar vårt slutsats att $ x = a $. Andra alternativ involverar produkter eller kvoter av $ a $ och $ b $ eller andra konstanter, vilka inte är relevanta för lösningen av den ursprungliga ekvationen.

Förklaring

För att lösa denna uppgift behöver vi börja med att sätta in värdena på $x$ och $y$ i den givna ekvationen $\frac{x(y-z)}{y(x+y+z)}=\frac13$. Vi vet att $x = 4$ och $y = 3$. Då kan ekvationen skrivas om som:

$$ \frac{4(3-z)}{3(4+3+z)}=\frac13 $$

Vi förenklar högerledet så att vi får:

$$ \frac{12-4z}{3(7+z)}=\frac13 $$

För att bli av med bråket och förenkla vidare, multiplicerar vi båda sidor med $3(7+z)$:

$$ 12 - 4z = \frac13 \cdot 3(7+z) $$

Förenklar vi detta ytterligare får vi:

$$ 12 - 4z = 7 + z $$

Nu löser vi ekvationen för $z$. Vi förflyttar alla termer med $z$ till ena sidan och alla konstanter till andra:

$$ 12 - 7 = z + 4z $$
$$ 5 = 5z $$

Dividera båda sidor med 5:

$$ z = 1 $$

Svaret är alltså att $z = 1$. Det kontrolleras av att vi verkligen får $\frac13$ när vi sätter in $z = 1$ i den ursprungliga ekvationen

$$ \frac{4(3-1)}{3(4+3+1)} = \frac{4 \times 2}{3 \times 8} = \frac{8}{24} = \frac13 $$

Det stämmer alltså och det korrekta svaret är z = 1, vilket är alternativ A: $1$.

Förklaring

För att lösa denna uppgift måste vi förstå och omformulera den givna ekvationen $\frac{x}{y} = \frac{5a}{3b}$. Vårt mål är att uttrycka $b$ enbart med hjälp av de andra variablerna och konstanterna.

Börja med att isolera $b$ i ekvationen. Vi kan göra detta genom att korsmultiplicera. Det innebär att vi multiplicerar korsvis mellan numerator och denominator på bägge sidor av ekvationen:
$$ x \cdot 3b = y \cdot 5a. $$

Nu när vi har multiplicerat över termerna ska vi lösa ut $b$. För att få $b$ ensamt på ena sidan dividerar vi båda sidor med $3x$:
$$ b = \frac{5ay}{3x}. $$

Detta ger oss uttrycket för $b$. När vi ser på svarsalternativen, så matchar detta med svarsalternativ:
D: $\frac{5ay}{3x}$.

Det är därför det korrekta svaret på frågan om vad $b$ motsvarar då $\frac{x}{y}=\frac{5a}{3b}$. Den matematiska processen vi använt här är att arbeta med proportioner och lösa dem genom korsmultiplicering och sedan enkel algebraisk manipulation för att isolera önskad variabel.

Förklaring

För att lösa denna uppgift börjar vi med att förenkla uttrycket som ges i ekvationen:
$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + x = 1.$$

Först behöver vi addera de två bråktalen $\frac{1}{3}$ och $\frac{1}{4}$. För att göra detta behöver vi ett gemensamt nämnare. Minsta gemensamma nämnaren (MGN) för 3 och 4 är 12. Så vi omvandlar varje bråk till samma nämnare:

Första bråktal $\frac{1}{3}$ skrivs om som:
$$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12},$$

Andra bråktal $\frac{1}{4}$ skrivs om som:
$$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}.$$

Nu när bägge bråken har samma nämnare, kan vi addera dem:
$$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}.$$

Då har vi:
$$\frac{7}{12} + x = 1.$$

För att isolera $x$, subtrahera $\frac{7}{12}$ från både vänster och höger sida av ekvationen:
$$x = 1 - \frac{7}{12}.$$

För att förenkla höger sida och utföra subtraktionen, omvandla 1 till ett bråk med samma nämnare (12):
$$1 = \frac{12}{12},$$

Så nu har vi:
$$x = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{12 - 7}{12} = \frac{5}{12}.$$

Därför är det korrekta värdet på $x$ i ekvationen $\frac{5}{12}$. Svarsalternativ B: $\frac{5}{12}$ är alltså det rätta svaret.